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2024年初中數(shù)學(xué)《三角函數(shù)解決問題》4類題型

來源:網(wǎng)絡(luò)資源 2023-10-15 20:47:55

中考真題

免費(fèi)領(lǐng)資料

類型一:定位問題

1.某校興趣小組從游輪拍攝海河兩岸美景.如圖,游輪出發(fā)點(diǎn)A與望海樓B的距離為300 m,在A處測得望海樓B位于A的北偏東30°方向,游輪沿正北方向行駛一段時(shí)間后到達(dá)C,在C處測得望海樓B位于C的北偏東60°方向,求此時(shí)游輪與望海樓之間的距離BC.(取1.73,結(jié)果保留整數(shù))

解:根據(jù)題意可知AB=300 m.

如圖所示,過點(diǎn)B作BD⊥AC,

交AC的延長線于點(diǎn)D.在Rt△ADB中,

∵∠BAD=30°,∴BD=1/2AB=1/2×300=150(m).

在Rt△CDB中,∵sin∠DCB=BCBD,

∴BC=sin∠DCBBD=sin 60°150=3300≈173(m).

答:此時(shí)游輪與望海樓之間的距離BC約為173 m.

類型二:坡壩問題

2.如圖,水壩的橫斷面是梯形,背水坡AB的坡角∠BAE=45°,壩高BE=20米.汛期來臨,為加大水壩的防洪強(qiáng)度,將壩底從A處向后水平延伸到F處,使新的背水坡BF的坡角∠F=30°,求AF的長度 .(結(jié)果精確到1米,參考數(shù)據(jù):≈1.414,≈1.732)【版權(quán)所有:21教育】

解:在Rt△ABE中,∠BEA=90°,∠BAE=45°,BE=20米,

∴AE=20米.

在Rt△BEF中,∠BEF=90°,∠F=30°,BE=20米,

∴EF=tan 30°BE=3=20(米).

∴AF=EF-AE=20-20

≈20×1.732-20=14.64≈15(米).

答:AF的長度約是15米.

類型三:測距問題

3.一條東西走向的高速公路上有兩個(gè)加油站A,B,在A的北偏東45°方向上還有一個(gè)加油站C,C到高速公路的最短距離是30千米,B,C間的距離是60千米,想要經(jīng)過C修一條筆直的公路與高速公路相交,使兩路交叉口P到B,C的距離相等,請求出交叉口P到加油站A的距離.(結(jié)果保留根號)

解:分兩種情況:

(1)如圖①,在Rt△BDC中,CD=30千米,BC=60千米.

∴sinB=BCCD=21,∴∠B=30°.

∵PB=PC,∴∠BCP=∠B=30°.

∴在Rt△CDP中,∠CPD=∠B+∠BCP=60°,

∴DP=tan ∠CPDCD=tan 60°30=10(千米).

在Rt△ADC中,∵∠A= 45°,

∴AD=DC=30千米.

∴AP=AD+DP=(30+10)千米.

(2)如圖②,同理可求得DP=10千米,AD=30千米.

∴AP=AD-DP=(30-10)千米.

故交叉口P到加油站A的距離為(30±10)千米.

類型四:測高問題

4.如圖,在大樓AB的正前方有一斜坡CD,CD=4米,坡角∠DCE=30°,小紅在斜坡下的點(diǎn)C處測得樓頂B的仰角為60°,在斜坡上的點(diǎn)D處測得樓頂B的仰角為45°,其中點(diǎn)A,C,E在同一直線上.

(1)求斜坡CD的高度DE;

解:在Rt△DCE中,DC=4米,∠DCE=30°,∠DEC=90°,

∴DE=21DC=2米;

(2)求大樓AB的高度.(結(jié)果保留根號)

如圖,過點(diǎn)D作DF⊥AB,交AB于點(diǎn)F,

則∠BFD=90°,∠BDF=45°,

∴∠DBF=45°,即△BFD為等腰直角三角形,

設(shè)BF=DF=x米,

∵四邊形DEAF為矩形,

∴AF=DE=2米,即AB=(x+2)米,

在Rt△ABC中,∠ABC=30°,

∴BC=cos 30°AB=3=32x+4=33(2x+4)(米),

∵∠DCE=30°,∠ACB=60°,

∴∠DCB=90°,

在Rt△BCD中,BD=BF=x米,DC=4米,

根據(jù)勾股定理得:2x2=3(2x+4)2+16,

解得:x=4+4或x=4-4(舍去),

則大樓AB的高度為(6+4)米.

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