第九講 一元二次方程

　　方程ax²+bx+c=0(a≠0)稱為一元二次方程．

　　對于方程ax²+bx+c=0(a≠0)，△=b²-4ac稱為該方程的根的判別式．當△＞0時，方程有兩個不相等的實數根，即

　　當△=0時，方程有兩個相等的實數根，即

　　當△＜0時，方程無實數根．

　　分析 可以使用公式法直接求解，下面介紹的是采用因式分解法求解．

　　例2 解關于x的方程：

　　x²-(p²+q²)x+pq(p+q)(p-q)=0．

　　解 用十字相乘法分解因式得

　　[x-p(p-q)][x-q(p+q)]=0，

　　所以x₁=p(p-q)，x₂=q(p+q)．

　　例3 已知方程(2000x)²-2001×1999x-1=0的較大根為a，方程x²+1998x-1999=0的較小根為β，求α-β的值．

　　解 由方程(2000x)²-2001×1999x-1=0得

(2000²x+1)(x-1)=0，

(x+1999)(x-1)=0，

　　故x₁=-1999，x₂=1，所以β=-1999．所以

α-β=1-(-1999)=2000．

　　例4 解方程：(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)．

　　分析 本題容易犯的錯誤是約去方程兩邊的(x-1)，將方程變為

3x-1=4x+1，

　　所以x=-2，這樣就丟掉了x=1這個根．故特別要注意：用含有未知數的整式去除方程兩邊時，很可能導致方程失根．本題正確的解法如下．

　　解 (3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0，

　　(x-1)[(3x-1)-(4x+1)]=0，

　　(x-1)(x+2)=0，

　　所以 x₁=1，x₂=-2．

　　例5 解方程：x²-3｜x｜-4=0．

　　分析 本題含有絕對值符號，因此求解方程時，要考慮到絕對值的意義．

　　解法1 顯然x≠0．當x＞0時，x²-3x-4=0，所以x₁=4，x₂=-1(舍去)．當x＜0時，x²+3x-4=0，所以x₃=-4，x₄=1(舍去)．

　　所以原方程的根為x₁=4，x₂=-4．

　　解法2 由于x²=｜x｜²，所以

　　｜x｜²-3｜x｜-4=0，

　　所以 (｜x｜-4)(｜x｜+1)=0，

　　所以 ｜x｜=4，｜x｜=-1(舍去)．

　　所以 x₁=4，x₂=-4．

　　例6 已知二次方程

　　3x²-(2a-5)x-3a-1=0

　　有一個根為2，求另一個根，并確定a的值．

　　解 由方程根的定義知，當x=2時方程成立，所以

　　3×2²-(2a-5)×2-3a-1=0，

　　故a=3．原方程為

　　3x²-x-10=0，即(x-2)(3x+5)=0，

　　例7 解關于x的方程：ax²+c=0(a≠0)．

　　分析 含有字母系數的方程，一般需要對字母的取值范圍進行討論．

　　當c=0時，x₁=x₂=0；

　　當ac＞0(即a，c同號時)，方程無實數根．

　　例8 解關于x的方程：

　　(m-1)x²+(2m-1)x+m-3=0．

　　分析 討論m，由于二次項系數含有m，所以首先要分m-1=0與m-1≠0兩種情況(不能認為方程一定是一元二次方程)；當m-1≠0時，再分△＞0，△=0，△＜0三種情況討論．

　　解 分類討論．

　　(1)當m=1時，原方程變為一元一次方程

x-2=0，

　　所以x=2．

　　(2)當m≠1時，原方程為一元二次方程．

　　△=(2m-1)²-4(m-1)(m-3)=12m-11．

　　例9 解關于x的方程：

　　a²(x²-x+1)-a(x²-1)=(a²-1)x．

　　解 整理方程得

　　(a²-a)x²-(2a²-1)x+(a²+a)=0．

　　(1)當a²-a≠0，即a≠0，1時，原方程為一元二次方程，因式分解后為

　　[ax-(a+1)][(a-1)x-a]=0，

　　(2)當a²-a=0時，原方程為一元一次方程，當a=0時，x=0；當a=1時，x=2．

　　例10 求k的值，使得兩個一元二次方程

　　x²+kx-1=0，x²+x+(k-2)=0

　　解 不妨設a是這兩個方程相同的根，由方程根的定義有

　　a²+ka-1=0， ①

　　a²+a+(k-2)=0． ②

　　①-②有

　　ka-1-a-(k-2)=0，

　　即 (k-1)(a-1)=0，

　　所以k=1，或a=1．

　　(1)當k=1時，兩個方程都變為x²+x-1=0，所以兩個方程有兩個相同的根

　　(2)當a=1時，代入①或②都有k=0，此時兩個方程變為

x²-1=0，x²+x-2=0．

　　解這兩個方程，x²-1=0的根為x₁=1，x₂=-1；x²+x-2=0的根為x₁=1，x₂=-2．x=1為兩個方程的相同的根．

　　例11 若k為正整數，且關于x的方程

　　(k²-1)x²-6(3k-1)x+72=0

　　有兩個不相等的正整數根，求k的值．

　　解 原方程變形、因式分解為

　　(k+1)(k-1)x²-6(3k-1)x+72=0，

　　[(k+1)x-12][(k-1)x-6]=0，

　　即

　　4，7．所以k=2，3使得x₁，x₂同時為正整數，但當k=3時，x₁=x₂=3，與題目不符，所以，只有k=2為所求．

　　例12 關于x的一元二次方程x²-5x=m²-1有實根a和β，且｜α｜+｜β｜≤6，確定m的取值范圍．

　　解 不妨設方程的根α≥β，由求根公式得

｜α｜+｜β｜=α+β=5＜6，

　　 符合要求，所以m²≤1．

　　例13 設a，b，c為△ABC的三邊，且二次三項式x²+2ax+b²與x²+2cx-b²有一次公因式，證明：△ABC一定是直角三角形．

　　證 因為題目中的兩個二次三項式有一次公因式，所以二次方程x²+2ax+b²=0與x²+2cx-b²=0必有公共根，設公共根為x₀ ，則

　　若x₀=0，代入①式得b=0，這與b為△ABC的邊不符，所以公共根x₀=-(a＋c)．把x₀=-(a＋c)代入①式得

(a+c)²-2a(a+c)+bg2=0，

a²=b²+c²

　　所以△ABC為直角三角形．

　　例14 有若干個大小相同的球，可將它們擺成正方形或正三角形，擺成正三角形時比擺成正方形時每邊多兩個球，求球的個數．

　　解 設小球擺成正三角形時，每邊有x個球，則擺成正方形時每邊有(x-2)個球．此時正三角形共有球

　　此時正方形共有(x-2)²個球，所以

　　即 x²-9x+8=0，

　　x₁=1，x₂=8．

　　因為x-2≥1，所以x₁=1不符合題意，舍去．所以x=8，此時共有球(x-2)²=36個．

　　1．解方程：

　　(2)20x²+253x+800=0；

　　(3)x²+｜2x-1｜-4=0．

　　2．解下列關于x的方程：

　　(1)abx²-(a⁴+b⁴)x+a³b³=0；

　　(2)(2x²-3x-2)a²+(1-x²)b²=ab(1+x²)．

　　3．若對任何實數a，關于x的方程

x²-2ax-a+2b=0

　　都有實數根，求實數b的取值范圍．

　　4．若方程x²+ax+b=0和x²+bx+a=0有一個公共根，求(a+b)²000的值．

　　5．若a，b，c為△ABC的三邊，且關于x的方程

　　4x²+4(a²+b²+c²)x+3(a²b²+b²c²+c²a²)=0有兩個相等的實數根，試證△ABC是等邊三角形．

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